Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

Schritt 1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Schritt 3.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

Schritt 3.2

Multipliziere $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $n^{2}$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $n^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Potenziere $n$ mit $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.5.1

Bewege $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

Schritt 3.3.2

Addiere $n^{2}$ und $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$