Analysis Beispiele

$\int (3 \sec^{2} (4 x) + 3 \csc^{2} (4 x)) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 3 \sec^{2} (4 x) + 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 \sec^{2} (4 x) d x + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sec^{2} (4 x) d x + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 4.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$3 \int \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 5

Kombiniere $\sec^{2} (u_{1})$ und $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{4} \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$\frac{3}{4} \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $\tan (u_{1})$ gleich $\sec^{2} (u_{1})$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u_{1})$ gleich $\tan (u_{1})$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \csc^{2} (4 x) d x$

Schritt 10

Sei $u_{2} = 4 x$ . Dann ist $d u_{2} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 10.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Schritt 11

Kombiniere $\csc^{2} (u_{2})$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 12

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \frac{3}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 14

Da die Ableitung von $- \cot (u_{2})$ gleich $\csc^{2} (u_{2})$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u_{2})$ gleich $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \frac{3}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Vereinfache.

$\frac{3}{4} \tan (u_{1}) + \frac{3}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\cot (u_{2})$ .

$\frac{3}{4} \tan (u_{1}) - \frac{3 \cot (u_{2})}{4} + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3 \cot (u_{2})}{4} + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3 \cot (4 x)}{4} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3}{4} \cot (4 x) + C$