Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} + 4}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{2}{3} \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sec^{2} (t)}{3}$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 {(\frac{2}{3} \tan (t))}^{2} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 {(\frac{2 \tan (t)}{3})}^{2} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \tan (t)}{3}$ an.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{{(2 \tan (t))}^{2}}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Produktregel auf $2 \tan (t)$ an.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{2^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{9} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{9} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t) + 4$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ heraus.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.4

Schreibe $4 \sec^{2} (t)$ als ${(2 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) (2 \sec (t))} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2 \tan (t)}{3} (2 \sec (t))} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2 \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{2 (2 \tan (t))}{3} \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{4 \tan (t)}{3} \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{4 \tan (t)}{3}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{4 \tan (t) \sec (t)}{3}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{4 \tan (t) \sec (t)}{3}$ zu dividieren.

$\int 1 \frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)} \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)}$ mit $1$ .

$\int \frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)}$ mit $\frac{2 \sec^{2} (t)}{3}$ .

$\int \frac{3 (2 \sec^{2} (t))}{4 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{4 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{12 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $12$ .

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Schritt 2.2.10.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{12 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.10.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12 \tan (t) \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (2 \tan (t) \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (2 \tan (t) \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec^{2} (t)$ und $\sec (t)$ .

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Schritt 2.2.11.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.11.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $2 \tan (t) \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (2 \tan (t))} d t$

Schritt 2.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (2 \tan (t))} d t$

Schritt 2.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec (t)}{2 \tan (t)} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Schritt 4.2

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Schritt 4.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Schritt 4.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\frac{1}{2} \int \csc (t) d t$

Schritt 5

Das Integral von $\csc (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (\arctan (\frac{3 x}{2})) - \cot (\arctan (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (\arctan (\frac{3}{2} x)) - \cot (\arctan (\frac{3}{2} x)) |) + C$