Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Schritt 3

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 3.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $u$ bei $1$ und $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 9.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

Schritt 9.3.6

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

Schritt 9.3.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 9.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 1}{3}$

Schritt 9.3.9

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$