Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\sqrt{4 x + 3}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x + 3}$ als ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ und $g (x) = 4 x + 3$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 3$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 9.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 10.3

Bringe ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 12

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 14

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 15

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + 0)$

Schritt 16

Vereinfache Terme.

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Schritt 16.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 4$

Schritt 16.2

Kombiniere $\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 16.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$