Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - 2) (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(x - 2) (3 x^{2} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2} + 3) - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 6}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 9.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 9.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 9.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Schritt 9.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{3 + 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Schritt 11.1.4

Addiere $3 + 0 + 0$ und $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Schritt 11.1.5

Addiere $3 + 0$ und $0$ .

$\frac{3 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Schritt 11.1.6

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{3}{{(6 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{3}{{(6 + 0)}^{3}}$

Schritt 11.2.3

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{3}{6^{3}}$

Schritt 11.2.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{3}{216}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $216$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{216}$

Schritt 11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{72}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{72}$

Dezimalform:

$0.013\overline{8}$