Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + h) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $h$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + h \cdot \frac{2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Schritt 1.2

Kombiniere $h$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + \frac{h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 2}{2}) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π + h \cdot 2) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 2)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 2)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.1.7

Berechne den Grenzwert von $\cos (\frac{π}{2})$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 \cdot 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - 0$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + 2 \cdot h}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \cos (h)$ und $g (h) = \frac{π + 2 h}{2}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π + 2 h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{d}{d h} [\frac{π + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π + 2 h}{2}$ nach $h$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [π + 2 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [π + 2 h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π + 2 h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [2 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [2 h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.5

Da $π$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d h} [2 h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.6

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2 h$ nach $h$ gleich $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2 \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2)) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.9

Addiere $0$ und $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 2) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d h} [- 0]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + \frac{d}{d h} [0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.2

Da $0$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.6

Addiere $- \sin (\frac{π + 2 h}{2})$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2})}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $- \sin (\frac{π + 2 h}{2})$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (\frac{π + 2 h}{2})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- lim_{h \to 0} \sin (\frac{π + 2 h}{2})$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- \sin (lim_{h \to 0} \frac{π + 2 h}{2})$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \sin (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π + 2 h)$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \sin (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} 2 h))$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \sin (\frac{1}{2} (π + lim_{h \to 0} 2 h))$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h))$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 2 \cdot 0))$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

Schritt 5.2

Addiere $π$ und $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} π)$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$