Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = - \frac{1}{x}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , folglich $x^{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - \frac{1}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3

Multipliziere.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Schritt 2.1.3.5.2

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$x^{- 2}$

Schritt 2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - \frac{1}{x}$ ein.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - \frac{1}{x}$ ein.

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

Schritt 4

Berechne $e^{u}$ bei $- \frac{1}{t}$ und $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Schritt 5.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Schritt 5.1.3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Schritt 5.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t}$ $0$ .

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.3.1

Berechne den Grenzwert von $e^{- 1}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$e^{- 0} - e^{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{0} - e^{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$1 - \frac{1}{e}$

Dezimalform:

$0.63212055 \dots$