Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{4} \sin (x) + 1$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5}{4} \cdot \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{4} \cdot \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{4} \cdot \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{5}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{4} \cdot \sin (x)$ nach $x$ gleich $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{5}{4} \cos (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{4} \cos (x) + 0$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Addiere $\frac{5}{4} \cos (x)$ und $0$ .

$\frac{5}{4} \cos (x)$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{4}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{5}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 \cos (x)}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (x))$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (x)}{4}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{5 \cos (x)}{4} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$5 \cos (x) = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (x) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (x) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{5}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.5.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.5.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.6

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{5 \cdot 1}{4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 8

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 9

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot 1 + 1$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{4} + 1$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 + 4}{4}$

Schritt 9.2.2.3

Addiere $5$ und $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{9}{4}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{4}$ .

$y = \frac{9}{4}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{5 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 5}{4}$

Schritt 11.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{5}{4}$

Schritt 11.3

Multipliziere $- - \frac{5}{4}$ .

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{5}{4})$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$\frac{5}{4}$

Schritt 12

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Schritt 13.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot (- 1 \cdot 1) + 1$

Schritt 13.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot - 1 + 1$

Schritt 13.2.1.4

Multipliziere $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 13.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5 \cdot - 1}{4} + 1$

Schritt 13.2.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 5}{4} + 1$

Schritt 13.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{5}{4} + 1$

Schritt 13.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{5}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

Schritt 13.2.2.3

Addiere $- 5$ und $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 13.2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{1}{4}$

Schritt 13.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 14

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{5}{4} \cdot \sin (x) + 1$ .

$(\frac{π}{2}, \frac{9}{4})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{1}{4})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15