Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + e^{x} - \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + e^{x} - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 x + e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 x + e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 x + e^{x} - - \sin (x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x + e^{x} + 1 \sin (x)$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x + e^{x} + \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + e^{x} + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 + e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 + e^{x} + \cos (x)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 + e^{x} + \cos (x)$ .

$2 + e^{x} + \cos (x)$