Analysis Beispiele

$\frac{x}{| x |}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $| x |$ mit $1$ .

$\frac{| x | - x \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{x}{| x |}$ und $x$ .

$\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{| x | - \frac{x^{1} x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{| x | - \frac{x^{1} x^{1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Um $| x |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.1

Multipliziere $| x | | x |$ .

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Schritt 9.2.3.1.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + | x^{1} x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + | x^{1} x^{1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.3.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.3.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Dividiere $0$ durch $| x |$ .

$\frac{0}{{| x |}^{2}}$

Schritt 9.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{0}{x^{2}}$

Schritt 9.4

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$0$