Analysis Beispiele

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{1}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{- 3}{x^{2}}$ und ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 1}{x}$ an.

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.6

Kombinieren.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 3.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Schritt 3.7.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3 {(x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$