Analysis Beispiele

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{x (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x + 0) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ und $x$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x))}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{1}))}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 16

Faktorisiere $2$ aus $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17.4

Dividiere $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 19

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 20.1.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 20.1.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 20.1.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $- {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 20.1.4

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 20.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - {(x^{2} + 1)}^{1})}{x^{2}}$

Schritt 20.3

Vereinfache.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Schritt 20.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}{x^{2}}$

Schritt 20.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} - x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Schritt 20.6

Subtrahiere $x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}$