Analysis Beispiele

$h (x) = (x^{2} - 3) (x^{3} - 2 x)$ , $(- 2, - 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = - 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3$ und $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x] + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2 \cdot 1) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.2.8

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x + 0)$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.9.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x)$

Schritt 1.2.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3} - 2 x$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + 2 \cdot (x^{3} - 2 x) x$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (2 x^{3} + 2 (- 2 x)) x$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (3 x^{2}) - 3 (3 x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (3 x^{2}) - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.6.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$3 \cdot x^{4} - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} - 2 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 9 x^{2}$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{1 + 3} + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.9

Addiere $1$ und $3$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} + 2 (- 2 x) x$

Schritt 1.3.6.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x \cdot x$

Schritt 1.3.6.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 (x^{1} x)$

Schritt 1.3.6.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 (x^{1} x^{1})$

Schritt 1.3.6.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x^{1 + 1}$

Schritt 1.3.6.14

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x^{2}$

Schritt 1.3.6.15

Addiere $3 x^{4}$ und $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 11 x^{2} + 6 - 4 x^{2}$

Schritt 1.3.6.16

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 11 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 6$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$5 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$5 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$80 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Schritt 1.5.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$80 - 15 \cdot 4 + 6$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$80 - 60 + 6$

Schritt 1.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.5.2.1

Subtrahiere $60$ von $80$ .

$20 + 6$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $20$ und $6$ .

$26$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $26$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, - 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 4) = 26 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $26 \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 4 = 0 + 0 + 26 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 4 = 26 x + 26 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $26$ mit $2$ .

$y + 4 = 26 x + 52$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 26 x + 52 - 4$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $52$ .

$y = 26 x + 48$

Schritt 3