Analysis Beispiele

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x - 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{lower} = 4 - 3$

Schritt 2.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{upper} = t - 3$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = t - 3$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{t - 3}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ bei $t - 3$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- lim_{t \to \infty} 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 6.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- 2 lim_{t \to \infty} {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 6.1.3

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t - 3)}^{\frac{1}{2}}} + lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 6.1.3.2

Schreibe ${(t - 3)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{t - 3}$ um.

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t - 3}} + lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 6.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\sqrt{t - 3}}$ $0$ .

$- 2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.3.1

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- 2 \cdot 0 + 2$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$0 + 2$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$