Analysis Beispiele

${(2 y + 1)}^{3} - 24 x = - 3$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(2 y + 1)}^{3} - 24 x) = \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{d}{d x} [{(2 y)}^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$\frac{d}{d x} [2^{3} y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.3

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (2^{2} y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (4 y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1 + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1^{3} - 24 x]$

Schritt 2.2.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 y^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 y^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$24 y^{2} y' + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$24 y^{2} y' + 12 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 2.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Schritt 2.7.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \cdot 1$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24$

Schritt 2.8

Addiere $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ und $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24$

Schritt 3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' = 24$

Schritt 5.2

Faktorisiere $6 y'$ aus $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $6 y'$ aus $24 y^{2} y'$ heraus.

$6 y' (4 y^{2}) + 24 y y' + 6 y' = 24$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $6 y'$ aus $24 y y'$ heraus.

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' = 24$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $6 y'$ aus $6 y'$ heraus.

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $6 y'$ aus $6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y)$ heraus.

$6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $6 y'$ aus $6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1$ heraus.

$6 y' (4 y^{2} + 4 y + 1) = 24$

Schritt 5.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1) = 24$

Schritt 5.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1^{2}) = 24$

Schritt 5.3.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Schritt 5.3.4

Schreibe das Polynom neu.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 24$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 y$ und $b = 1$ .

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ durch $6 {(2 y + 1)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ durch $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 y + 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $6$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $24$ heraus.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 {(2 y + 1)}^{2}$ heraus.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 ({(2 y + 1)}^{2})}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$