Analysis Beispiele

$y = \arccos (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arccos (\frac{1}{x}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arccos (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Schritt 3.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ und $x^{- 2}$ .

$\frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$

Schritt 3.2.3.4

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$