Analysis Beispiele

$y = e^{- x} \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (e^{- x} \sin (x))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = e^{- x}$ und $g (y) = \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d y} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$e^{- x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$e^{- x} (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (e^{- x} (- x'))$

Schritt 3.7

Stelle die Terme um.

$e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x' = 1$ um.

$e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x' = 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x'$ um.

$x' e^{- x} \cos (x) - x' e^{- x} \sin (x) = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $x' e^{- x} \cos (x) - x' e^{- x} \sin (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $- x' e^{- x} \sin (x)$ heraus.

$x' e^{- x} \cos (x) + x' e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $x' e^{- x} \cos (x) + x' e^{- x} (- 1 \sin (x))$ heraus.

$x' e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 1$

Schritt 5.4

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ durch $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ durch $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) - \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$