Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ und $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.6

Wandle von $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ nach $\cot^{2} (t)$ um.

$\int \cot^{2} (t) d t$

Schritt 3

Schreibe $\cot^{2} (t)$ in $- 1 + \csc^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 6

Da die Ableitung von $- \cot (t)$ gleich $\csc^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (t)$ gleich $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$- t - \cot (t) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$