Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{3} + x^{2} - x) x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{3} + x^{2}) x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} x^{- 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{3 - 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.5

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\int x^{0} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 1 + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 + x^{2 - 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.8

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.9

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int 1 + x^{- 1} - (x \cdot x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - (x^{1} x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 + x^{- 1} - x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.12

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $x^{- 3}$ mit $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Schritt 3.14

Stelle $1$ und $x^{- 1}$ um.

$\int x^{- 1} + 1 - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Schritt 3.15

Bewege $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + 1 + x^{- 3} d x$

Schritt 3.16

Bewege $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} + 1 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Schritt 5

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$