Analysis Beispiele

$\int x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{u_{1}}{2}$ und $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$\int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- {u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- {u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} e^{- {u_{1}}^{2}} + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{1}{4} e^{- {(x^{2})}^{2}} + C$