Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Schritt 1

Sei $x = 2 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sec (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4 \tan^{2} (t)$ als ${(2 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sec (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 \sec (t)$ aus $2 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 3

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

Schritt 8

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 11

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 12

Kombiniere $- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ und $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $- t + \tan (t)$ bei $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Schritt 13.2.2

Addiere $0$ und $\tan (0)$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Schritt 14.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Schritt 14.4

Addiere $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ und $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

Schritt 15.2

Multipliziere $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 15.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{π}{3}$ .

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 15.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$1.36970651 \dots$

Schritt 17