Analysis Beispiele

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{a}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Schritt 2.4

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{a}{x}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Kombiniere $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ und $x^{- 2}$ .

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

Schritt 2.7.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{a}{x}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $a x^{2}$ heraus.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

Schritt 3.2.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Schritt 3.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Schritt 3.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

Schritt 3.2.3.2.5

Dividiere $a x$ durch $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + a x$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $a x$ heraus.

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x a$ heraus.

$- \frac{a}{x (x + a)}$