Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 3} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{- 3}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{- 3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ bei $e$ und $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

Schritt 9.2

Berechne $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ bei $e$ und $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $e^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 9.3.4

Bringe $e^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 9.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$

Schritt 9.3.7

Um $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 9.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ und $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 9.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln (e) + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 9.3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 9.3.11

Kombiniere $e^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{e^{2} \cdot 2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 9.3.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 \cdot e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 9.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 9.3.13.2

Dividiere $e^{2}$ durch $1$ .

$\frac{- \ln (e) + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}}) + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2}$ .

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Schritt 10.1.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 e^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{2 e^{2}} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.4.2

Faktorisiere $e^{2}$ aus $2 e^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.5

Kombiniere $e^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.10.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{\frac{- 3}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 3 + e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.3

Multipliziere $\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

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Schritt 10.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{- 3 + e^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{2 (2 e^{2})} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Schritt 10.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{0}{2}$

Schritt 10.1.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + 0$

Schritt 10.2

Addiere $\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$ und $0$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

Dezimalform:

$0.14849853 \dots$