Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - x + 11}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} - x + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.5

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.6

Addiere $- 2 x - 1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} - x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 3.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + 0}$

Schritt 3.11

Addiere $14 x - 1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 5.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $14$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{14 - \frac{1}{x}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $14$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 2 - 0}{14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - 0}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- 2 + 0}{14 - 0}$

Schritt 9.1.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$\frac{- 2}{14 - 0}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- 2}{14 + 0}$

Schritt 9.2.2

Addiere $14$ und $0$ .

$\frac{- 2}{14}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $14$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{14}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{7}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{7}$