Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} {(1 + \frac{7}{x})}^{x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + \frac{7}{x})}^{x}$ als $e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{7}{x})] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + \frac{7}{x}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + \frac{7}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + \frac{7}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + \frac{7}{x}}$ und $x$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{7}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $7$ und $\frac{x}{1 + \frac{7}{x}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.6.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.8

Kombiniere $\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}}$ und $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x)}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Bringe $x^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 1)$

Schritt 9

Mutltipliziere $\ln (1 + \frac{7}{x})$ mit $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}))$

Schritt 10

Um $\ln (1 + \frac{7}{x})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

Schritt 11

Kombiniere $\ln (1 + \frac{7}{x})$ und $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Schritt 13

Kombiniere $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ und $\frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 14.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + 7))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7)}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3.1.3

Multipliziere $\ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7$ .

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Schritt 14.3.1.3.1

Stelle $\ln (1 + \frac{7}{x})$ und $7$ um.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + 7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3.1.3.2

Vereinfache $7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x})$ , indem du $7$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \cdot - 7 + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3.3

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ .

$\frac{- 7 \cdot e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.3.4

Stelle die Faktoren in $- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})$ um.

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.4

Vereine die Terme

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Schritt 14.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7}{x} x}$

Schritt 14.4.2

Kombiniere $\frac{7}{x}$ und $x$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

Schritt 14.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 14.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

Schritt 14.4.3.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + 7}$

Schritt 14.5

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} x \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}) - 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}}{x + 7}$