Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - 2}$ als ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 2$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Bringe ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $3$ .

$\frac{\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ mit $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 16

Kombinieren.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 17

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 18.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 18.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 19

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 21

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 21.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 21.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 22

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 22.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{1} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23

Vereinfache.

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 24

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \cdot 1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 25

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2)}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 26

Vereinfache.

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Schritt 26.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 26.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 26.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 26.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x - 6 x - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 26.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x - 6 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 26.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 26.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.5

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.7

Schreibe $- (3 x - 4)$ als $- 1 (3 x - 4)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$