Analysis Beispiele

$\int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\int \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = \cos (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) - \int \sin (x) (- \sin (x)) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin (x) (\sin (x)) d x$

Schritt 4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Schritt 5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) \sin (x) - - \int {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) \sin (x) + 1 \int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 9

Mutltipliziere $\int \sin^{2} (x) d x$ mit $1$ .

$\cos (x) \sin (x) + \int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 10

Multipliziere mit $1$ .

$\cos (x) \sin (x) + \int \sin^{2} (x) \cdot 1 d x$

Schritt 11

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin^{2} (x)$ und $d v = 1$ .

$\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x - \int x \sin (2 x) d x$

Schritt 12

Wenn nach $\int \cos^{2} (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \cos^{2} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2} + C$

Schritt 13

Schreibe $\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2} + C$ als $\frac{1}{2} (\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x) + C$ um.

$\frac{1}{2} (\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x) + C$