Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} (2 x^{2} - x^{3}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{1} 2 x^{2} - x^{3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $1$ und $- 1$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.11

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 8.2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4}$

Schritt 8.2.3.13

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4}$

Schritt 8.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 8.2.3.14.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4}$

Schritt 8.2.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.14.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1}$

Schritt 8.2.3.14.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{4}{3} - 0$

Schritt 8.2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4}{3} + 0$

Schritt 8.2.3.16

Addiere $\frac{4}{3}$ und $0$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{3}$

Dezimalform:

$1.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{3}$

Schritt 10