Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 1$ und $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \cdot 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{2 ((x + 1) (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 (x \cdot x) + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.9

Multipliziere $(- 2 x^{2} + 2) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} (x + 1) + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.10.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.1.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 0 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $4 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.4

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 4 x + 2$ heraus.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (2 x)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 5.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und ${(x + 1)}^{4}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $2 {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{4}$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$