Analysis Beispiele

$e^{x^{2} - y} = \frac{x^{2}}{y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2} - y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} - y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - y$ .

$e^{x^{2} - y} \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x^{2} - y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2} - y} (2 x + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} - y} (2 x - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x^{2} - y} (2 x - y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x y - x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} y'$ heraus.

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y) + x (- x y')$ heraus.

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{x^{2} - y} (2 x - y') = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$e^{x^{2} - y} (2 x - y') y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $e^{x^{2} - y} (2 x - y') y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(e^{x^{2} - y} (2 x) + e^{x^{2} - y} (- y')) y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 e^{x^{2} - y} x + e^{x^{2} - y} (- y')) y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 e^{x^{2} - y} x - e^{x^{2} - y} y') y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{x^{2} - y} x y^{2} - e^{x^{2} - y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.4.1

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2} - y} x y^{2} - e^{x^{2} - y} y' y^{2}$ um.

$2 x y^{2} e^{x^{2} - y} - y' y^{2} e^{x^{2} - y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.4.2

Stelle $2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$ und $- y' y^{2} e^{x^{2} - y}$ um.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = x (2 y - x y')$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = x (2 y) + x (- x y')$

Schritt 5.2.2.1.3

Stelle um.

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = 2 x y + x (- x y')$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = 2 x y - x (x y')$

Schritt 5.2.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

Schritt 5.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = 2 x y - x^{2} y'$

Schritt 5.2.2.1.5

Bewege $x^{2}$ .

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = 2 x y - y' x^{2}$

Schritt 5.2.2.1.6

Stelle $2 x y$ und $- y' x^{2}$ um.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} = - y' x^{2} + 2 x y$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $y' x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + 2 x y^{2} e^{x^{2} - y} + y' x^{2} = 2 x y$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + y' x^{2} = 2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y^{2} e^{x^{2} - y} + y' x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y^{2} e^{x^{2} - y}$ heraus.

$y' (- 1 y^{2} e^{x^{2} - y}) + y' (x^{2}) = 2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2}$ heraus.

$y' (- 1 y^{2} e^{x^{2} - y}) + y' (x^{2}) = 2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 y^{2} e^{x^{2} - y}) + y' (x^{2})$ heraus.

$y' (- 1 y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}) = 2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$y' (- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}) = 2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}) = 2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$ durch $- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}) = 2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$ durch $- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}$ .

$\frac{y' (- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2})}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}} + \frac{- 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2})}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}} + \frac{- 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}} + \frac{- 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.3.2.1

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x y - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$ heraus.

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Schritt 5.3.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x y$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (1) - 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2.1.2

Faktorisiere $2 x y$ aus $- 2 x y^{2} e^{x^{2} - y}$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (1) + 2 x y (- 1 y e^{x^{2} - y})}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2.1.3

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x y (1) + 2 x y (- 1 y e^{x^{2} - y})$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (1 - 1 y e^{x^{2} - y})}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y' = \frac{2 x y (1 - y e^{x^{2} - y})}{- y^{2} e^{x^{2} - y} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.5.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2} e^{x^{2} - y}$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (1 - y e^{x^{2} - y})}{- (y^{2} e^{x^{2} - y}) + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (1 - y e^{x^{2} - y})}{- (y^{2} e^{x^{2} - y}) - 1 (- x^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} e^{x^{2} - y}) - 1 (- x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (1 - y e^{x^{2} - y})}{- (y^{2} e^{x^{2} - y} - x^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.5.3.3.4.1

Schreibe $- (y^{2} e^{x^{2} - y} - x^{2})$ als $- 1 (y^{2} e^{x^{2} - y} - x^{2})$ um.

$y' = \frac{2 x y (1 - y e^{x^{2} - y})}{- 1 (y^{2} e^{x^{2} - y} - x^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y (1 - y e^{x^{2} - y})}{y^{2} e^{x^{2} - y} - x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y (1 - y e^{x^{2} - y})}{y^{2} e^{x^{2} - y} - x^{2}}$