Analysis Beispiele

$\int (\frac{- 6 x^{6} - 4 x}{x^{2}} - 4 e^{6 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{- 6 x^{6} - 4 x}{x^{2}} - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{- 6 x^{6} - 4 x}{x^{2}} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (- 6 x^{6} - 4 x) {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- 6 x^{6} - 4 x) x^{2 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (- 6 x^{6} - 4 x) x^{- 2} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(- 6 x^{6} - 4 x) x^{- 2}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - 6 x^{6} x^{- 2} - 4 x \cdot x^{- 2} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - 6 x^{6 - 2} - 4 x \cdot x^{- 2} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 4.3

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\int - 6 x^{4} - 4 x \cdot x^{- 2} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int - 6 x^{4} - 4 (x^{1} x^{- 2}) d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - 6 x^{4} - 4 x^{1 - 2} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\int - 6 x^{4} - 4 x^{- 1} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 6 x^{4} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$- 6 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$- 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{- 1} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{- 1} d x + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 9

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \int - 4 e^{6 x} d x$

Schritt 10

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) - 4 \int e^{6 x} d x$

Schritt 11

Sei $u = 6 x$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 11.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

Schritt 12.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Schritt 13

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) - 4 (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $- 4$ .

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{- 4}{6} \int e^{u} d u$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2 (- 2)}{6} \int e^{u} d u$

Schritt 14.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Schritt 14.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Schritt 14.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 14.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 15

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) - \frac{2}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 16

Vereinfache.

$- \frac{6 x^{5}}{5} - 4 \ln (| x |) - \frac{2}{3} e^{u} + C$

Schritt 17

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$- \frac{6 x^{5}}{5} - 4 \ln (| x |) - \frac{2}{3} e^{6 x} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$- \frac{6}{5} x^{5} - 4 \ln (| x |) - \frac{2}{3} e^{6 x} + C$