Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 3 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 3 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d t$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$t + C$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\arcsin (\frac{x}{3}) + C$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\arcsin (\frac{1}{3} x) + C$