Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{- 3}$ aus $x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{- 3}$ aus $x^{- 1}$ heraus.

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{- 3}$ aus $- x^{- 2}$ heraus.

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x^{- 3}$ aus $x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x)$ heraus.

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x^{- 3}$ aus $x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1$ heraus.

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x + 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} x^{3}} d x$

Schritt 1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2 + 3}} d x$

Schritt 1.3.2

Addiere $2$ und $3$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{5}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{- 5} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(x^{2} - x + 1) x^{- 5}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} - x) x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} x^{- 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2 - 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$\int x^{- 3} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Schritt 3.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int x^{- 3} - (x \cdot x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{- 3} - (x^{1} x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- 3} - x^{1 - 5} + 1 x^{- 5} d x$

Schritt 3.8

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + 1 x^{- 5} d x$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $x^{- 5}$ mit $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + x^{- 5} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- 3} d x + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Schritt 8.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int x^{- 5} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$