Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ positiv ist.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \tan (t)}{2}$ an.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Produktregel auf $3 \tan (t)$ an.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ heraus.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.5

Ordne Terme um.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.7

Schreibe $9 \sec^{2} (t)$ als ${(3 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 \sec (t)}$ mit $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{6 \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{6 \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \sec (t)$ heraus.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{3 (2 \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 (2 \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec^{2} (t)}{2 \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec^{2} (t)$ und $\sec (t)$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $2 \sec (t)$ heraus.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t)}{2} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1.27933953} \sec (t) d t$

Schritt 4

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{1.27933953}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ bei $1.27933953$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Schritt 6.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 6.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})}{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

$\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ ist ungefähr $6.8134355$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{| 1 |})}{2}$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{1})}{2}$

Schritt 7.3

Dividiere $\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ durch $1$ .

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Dezimalform:

$0.95944823 \dots$

Schritt 9