Analysis Beispiele

$y = x^{4}$ and $y = x$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{4} = x$

Schritt 1.2

Löse $x^{4} = x$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{3} - x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot - 1$ heraus.

$x (x^{3} - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.4.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Schritt 1.2.2.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0 + y = x$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x$

Schritt 1.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = x$

Schritt 1.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne die Klammern.

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = 1$

Schritt 1.4.2

Entferne die Klammern.

$y = 1$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.5.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.6

Berechne $y$ bei $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.6.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.6.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.7

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3