Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.1.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 7

Berechne $e^{u}$ bei $- t^{\frac{1}{2}}$ und $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

Schritt 8.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Schritt 8.2

Da der Exponent $- t^{\frac{1}{2}}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ $0$ an.

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.3.1

Berechne den Grenzwert von $e^{- 1}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- 2 (0 - e^{- 1})$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

Schritt 8.3.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{e}$ von $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{e})$

Schritt 8.3.2.3

Multipliziere $- 2 (- \frac{1}{e})$ .

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Schritt 8.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \frac{1}{e}$

Schritt 8.3.2.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{e}$

Dezimalform:

$0.73575888 \dots$