Analysis Beispiele

$y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Schritt 1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere.

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Schritt 1.3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 1.3.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 e^{2 x}$

Schritt 2

Ermittle $y''$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.4

Entferne die Klammern.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Schritt 3

Ermittle $y'''$ .

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Schritt 3.1

Bestimme die Ableitung.

$y''' = \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''' = 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y''' = 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y''' = 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y''' = 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.4

Entferne die Klammern.

$y''' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 4 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$y''' = 8 e^{2 x}$

Schritt 4

Ermittle $y''''$ .

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Schritt 4.1

Bestimme die Ableitung.

$y'''' = \frac{d}{d x} [8 e^{2 x}]$

Schritt 4.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''' = 8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y'''' = 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y'''' = 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y'''' = 8 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.4

Entferne die Klammern.

$y'''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''' = 8 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x}$

Schritt 5

Ermittle $y'''''$ .

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Schritt 5.1

Bestimme die Ableitung.

$y''''' = \frac{d}{d x} [16 e^{2 x}]$

Schritt 5.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''' = 16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y''''' = 16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y''''' = 16 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 5.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y''''' = 16 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 5.4

Entferne die Klammern.

$y''''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''' = 16 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x}$

Schritt 6

Ermittle $y''''''$ .

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Schritt 6.1

Bestimme die Ableitung.

$y'''''' = \frac{d}{d x} [32 e^{2 x}]$

Schritt 6.2

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''' = 32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 6.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y'''''' = 32 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y'''''' = 32 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y'''''' = 32 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.4

Entferne die Klammern.

$y'''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''' = 32 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x}$

Schritt 7

Ermittle $y'''''''$ .

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Schritt 7.1

Bestimme die Ableitung.

$y''''''' = \frac{d}{d x} [64 e^{2 x}]$

Schritt 7.2

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''''' = 64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 7.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y''''''' = 64 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 7.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y''''''' = 64 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 7.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y''''''' = 64 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 7.4

Entferne die Klammern.

$y''''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''''' = 64 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $128$ mit $1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x}$

Schritt 8

Ermittle $y''''''''$ .

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Schritt 8.1

Bestimme die Ableitung.

$y'''''''' = \frac{d}{d x} [128 e^{2 x}]$

Schritt 8.2

Da $128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $128 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''''' = 128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 8.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 8.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y'''''''' = 128 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8.4

Entferne die Klammern.

$y'''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 8.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''''' = 128 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $2$ mit $128$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 8.8

Mutltipliziere $256$ mit $1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x}$

Schritt 9

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$16 e^{2 x} + 256 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Schritt 10

Addiere $16 e^{2 x}$ und $256 e^{2 x}$ .

$272 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Schritt 11

Die gegebene Lösung erfüllt nicht die gegebene Differentialgleichung.

$y = e^{2 x}$ ist keine Lösung von $y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$