Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - lim_{h \to 0} \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $\arcsin (x)$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $\arcsin (x + h)$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\arcsin (x + 0) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\arcsin (x) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.4

Subtrahiere $\arcsin (x)$ von $\arcsin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h) - \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h) - \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arcsin (x + h) - \arcsin (x)$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \arcsin (h)$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Da $- \arcsin (x)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \arcsin (x)$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - {(x + h)}^{2}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + 0)}^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x + 0)}^{2}}}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x + 0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x + 0) (1 - (x + 0))}}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Addiere $1 + x$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - (x + 0))}}$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Schritt 4.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$