Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Schritt 1.1.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Schritt 1.1.2.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\infty - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + lim_{x \to \infty} 7}$

Schritt 1.1.3.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 7}$

Schritt 1.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{\infty + 7}$

Schritt 1.1.3.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2^{x} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $2^{x} \ln (2)$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2^{x} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.8

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $2^{x} \ln (2)$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{x}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Schritt 1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} 1$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$1$