Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2} + 18 x}{4 x^{9} - 3}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{9}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x^{2}}{x^{9}} + \frac{18 x}{x^{9}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{9}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{9}} + \frac{18 x}{x^{9}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{9}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x^{7}} + \frac{18 x}{x^{9}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x^{7}} + \frac{18 x}{x^{9}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2}{x^{7}} + \frac{18 x}{x^{9}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x^{7}} + \frac{18 x}{x^{9}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{9}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $18 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x^{7}} + \frac{x \cdot 18}{x^{9}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{9}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x^{7}} + \frac{x \cdot 18}{x \cdot x^{8}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x^{7}} + \frac{x \cdot 18}{x \cdot x^{8}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x^{7}} + \frac{18}{x^{8}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{9}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x^{7}} + \frac{18}{x^{8}}}{\frac{4 x^{9}}{x^{9}} + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x^{7}} + \frac{18}{x^{8}}}{4 + \frac{- 3}{x^{9}}}$

Schritt 2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x^{7}} + \frac{18}{x^{8}}}{4 - \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x^{7}} + \frac{18}{x^{8}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{7}} + lim_{x \to \infty} \frac{18}{x^{8}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{7}} + lim_{x \to \infty} \frac{18}{x^{8}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{7}}$ $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{18}{x^{8}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $18$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{8}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{8}}$ $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{9}}}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{9}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{9}}$ $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0$ und $4 - 3 \cdot 0$ .

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Schritt 8.1.1

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{- 1 (- 4) - 3 \cdot 0}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cdot 0$ heraus.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{- 1 (- 4) - (3 \cdot 0)}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 4) - (3 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{- 1 (- 4 + 3 \cdot 0)}$

Schritt 8.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{- 1 (- 4 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $4$ aus $- 2 \cdot 0$ heraus.

$\frac{4 (- 2 \cdot 0) + 18 \cdot 0}{- 1 (- 4 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 8.1.6

Faktorisiere $4$ aus $18 \cdot 0$ heraus.

$\frac{4 (- 2 \cdot 0) + 4 (18 \cdot 0)}{- 1 (- 4 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 8.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 \cdot 0) + 4 (18 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{4 (- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0)}{- 1 (- 4 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 8.1.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 1 (- 4 + 0 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{4 (- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0)}{4 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Schritt 8.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0)}{4 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Schritt 8.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 18 \cdot 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $18$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 8.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$\frac{0}{- 1 (- 1 + 0)}$

Schritt 8.3.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 8.5

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$