Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 3.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 3.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$