Analysis Beispiele

$y = x^{2 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2 x})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = 2 x$ ist.

$\frac{d}{d y} [x] (2 x \cdot x^{2 x - 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2 x - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Bewege $x^{2 x - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x)) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $x^{2 x - 1}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x^{1})) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x - 1 + 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 3.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x + 0}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x' (2 x^{2 x}) + 2 \frac{d}{d y} [x] (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' (2 x^{2 x}) + 2 x' (x^{2 x} \ln (x))$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$ um.

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$

Schritt 5.2

Vereinfache $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x' = 1$

Schritt 5.2.2

Stelle die Faktoren in $2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x'$ um.

$2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x' x^{2 x}$ aus $2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x' x^{2 x}$ aus $2 x' x^{2 x}$ heraus.

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x' x^{2 x}$ aus $x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ heraus.

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x' x^{2 x}$ aus $x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ heraus.

$x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ durch $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ durch $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2 x}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + \ln (x^{2})$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$