Analysis Beispiele

$\int (\frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}}) d x = 10 \sqrt{x} - 2 x \sqrt{5} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u = \sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.2.2

Da $\sqrt{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{5}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.1.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.1.3.9

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int - 2 u^{2} d u$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{3} + C$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} u^{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$