Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $- \infty$ annähert.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 t$

Schritt 2.3

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{u}]_{2 t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $e^{u}$ bei $0$ und $2 t$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

Schritt 7.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

Schritt 8.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Schritt 8.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Schritt 8.2

Da der Exponent $2 t$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{2 t}$ $0$ an.

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$