Analysis Beispiele

$\int (- \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int - \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Schritt 5

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 6.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sin^{2} (t)$ heraus.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.6

Stelle $3$ und $\cos^{2} (t)$ um.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cos (t) d t$

Schritt 6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos (t) \sqrt{3}$ heraus.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) (\sqrt{3})} \cos (t) d t$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3}} d t$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$ als $- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$ um.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $t$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3} t}{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\sqrt{3} t}{3}$ .

$\frac{- 4 (\sqrt{3} t)}{3} + C$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 \sqrt{3} t}{3} + C$

Schritt 8.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$- \frac{4 \sqrt{3} \arcsin (x)}{3} + C$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (x) + C$