Analysis Beispiele

$\frac{2 d y}{3 d x} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktoriere $\frac{d y}{d x}$ aus.

$\frac{2}{3} \frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2}{3} d y = {(x - 2)}^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{3} d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int u^{2} d u$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y)$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + K \cdot 3)$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + 3 K)$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} + \frac{1}{2} (3 K)$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{1}{2} (3 K)$

Schritt 3.2.2.1.6

Multipliziere $\frac{1}{2} (3 K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} K$

Schritt 3.2.2.1.6.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $K$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Schritt 3.2.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{{(x - 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3 K}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + K}{2}$