Analysis Beispiele

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ durch Herausziehen von $\ln (x)$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\ln (x))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\ln (x))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Differenziere $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (x)}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.6

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $\ln (\ln (x))$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}) {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{1}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ und ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $\frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$ um.

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)} \ln (\ln (x))}{x}$