Analysis Beispiele

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int u^{- 2} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- (- u^{- 1} + C)$ als $- - \frac{1}{u} + C$ um.

$- - \frac{1}{u} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{u} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $1$ .

$\frac{1}{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$\frac{1}{1 - x} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{1 - x} + C$