Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 6 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $6 \tan (t)$ an.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $36$ aus $36 \tan^{2} (t) + 36$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $36$ aus $36 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $36$ aus $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ heraus.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Schreibe $36 \sec^{2} (t)$ als ${(6 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) (6 \sec (t))} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\int \frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)}$ .

$\int \frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)}$ und $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $36 \tan (t) \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec^{2} (t)$ und $\sec (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $6 \tan (t) \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Schritt 2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec (t)}{6 \tan (t)} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Schritt 4.2

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{6} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Schritt 4.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Schritt 4.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\frac{1}{6} \int \csc (t) d t$

Schritt 5

Das Integral von $\csc (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{x}{6})) - \cot (\arctan (\frac{x}{6})) |) + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{1}{6} x)) - \cot (\arctan (\frac{1}{6} x)) |) + C$